Fille de Joseph Groben, érudit littéraire et culturel, auteur et professeur, Françoise Groben est née le 4 décembre 1965 à Luxembourg. À l’âge de cinq ans, elle commence à étudier le violoncelle au conservatoire de Luxembourg avec Francine Weber-Deprelle et Georges Mallach. Elle termine ses études dans la classe de maître de Boris Pergamenschikow à la Musikhochschule Köln, où elle obtient son diplôme supérieur „Konzertreife“. Sa sœur aînée Anne est également une virtuose musicale, elle se concentre sur les études de violon et d‘alto.
En 1974, la jeune violoncelliste est cofondatrice de l’ensemble « Les jeunes Musiciens ». À l’âge de 15 ans, elle est sélectionnée pour l’Orchestre des jeunes de la Communauté européenne (ECYO), tout comme sa sœur, et joue sous la direction de Claudio Abbado, Daniel Barenboim, Herbert von Karajan et Georg Solti.
En 1990, elle remporte le IIe Prix au Concours International Tchaïkovsky à Moscou ainsi que plusieurs prix spéciaux. La même année, elle débute sa carrière internationale de soliste au Festival de musique du Schleswig-Holstein avec l’Orchestre symphonique de la Radio bavaroise sous la direction de Dmitri Kitajenko. Des engagements prestigieux la conduisent ensuite dans la plupart des pays européens, dans des salles de concert renommées telles que le Musikverein de Vienne, le Festspielhaus Salzburg, la Philharmonie de Berlin, le Palais des Beaux-Arts de Bruxelles, le Théâtre de la Ville à Paris, la Salle Tchaïkovski à Moscou et la Philharmonie de Saint-Pétersbourg, le Santory Hall à Tokyo. Plusieurs tournées l’ont menée au Japon, en Chine, aux États-Unis, en Australie, au Canada et en Israël. Elle se produit avec de nombreux orchestres comme l’Orchestre national de Russie, l’Orchestre Philharmonique de Saint-Pétersbourg, le Japan Philharmonic Orchestra, le Jerusalem Symphony Orchestra, les Virtuoses philharmoniques de Berlin, l’Orchestre de chambre ECYO, sous la direction de chefs comme Youri Ahronovitch, Leopold Hager, Daniel Harding, Mstislav Rostropovitch, David Shallon, Ievguény Svétlanov…
Partenaire de musique de chambre très recherchée, Françoise Groben est cofondatrice en 1994 du renommé Quatuor à cordes Zehetmair avec lequel elle fait de nombreuses tournées jusqu’en 2003. Leurs enregistrements CD sont acclamés par la critique internationale et récompensés par de nombreux prix, e.a. un „Gramophone Record of the Year Award“ en 2003. En 2002, elle fonde avec le violoniste ukrainien Mourja Graf et le pianiste russ Peter Laul un trio à clavier. Leur enregistrement des trios de Brahms est récompensé par un Diapason d’Or (2007). Avec le Trio Meininger elle explore surtout le répertoire des compositrices contemporaines.
La disparition prématurée des sœurs Groben, Anne en décembre 1992, Françoise en mai 2011, a profondément ému le monde de la culture. C'est en leur mémoire que l'OCL a créé un prix destiné à soutenir de jeunes talents issus des établissements d'enseignement musical au Luxembourg. Le Prix Anne & Françoise Groben a été décerné pour la première fois en juin 2017.
En 2022, le producteur musical allemand Günter Hänssler a publié un coffret de six CD „In memoriam Françoise Groben“ qui a été salué par la critique musicale internationale. Le musicologue français jean-Charles Hoffelé conclut: „Oui, Françoise Groben fut bien une des violoncellistes majeures de son temps“.